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例 1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、 乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途 增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。 现知甲乙相距 5000 米，乙丙相距 8000 米，丙丁相距 4000 米，那么至少要增加 ______位民警。 （《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题） 讲析：如图 5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有 一位民警，共有 7 位民警。他们将上面的线段分为了 2 个 2500 米，2 个 4000 米， 2 个 2000 米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相 等，这实际上是要求将 2500、4000、2000 分成尽可能长的同样长的小路。 由于 2500、4000、2000 的最大公约数是 500，所以，整段路最少需要的民 警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。 例 2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在 A、B、C 的位置上，如图 5.92 所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面 最省时？ （湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题） 1 讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三 者同时到达，即各自行的路程相等。 我们可将正方体表面展开，如图 5.93，则 A、B、C 三点在同一平面上。这 样，便将问题转化为在同一平面内找出一点 O，使 O 到这三点的距离相等且最短。 所以，连接 A 和 C，它与正方体的一条棱交于 O；再连接 OB，不难得出 AO=OC=OB。 故，O 点即为三只蚂蚁会面之处。